TomТомас С. О`Хавър

Почетен професор
Катедра по химия и биохимия
Университета на Мериленд
в College Park

Оригиналът:
Differentiation

Символичното диференциация на функциите е тема, която се въвежда във всички елементарни курсове смятане. Числовата диференциацията на цифровизираните сигнали е приложение на тази концепция, която има много приложения в аналитичната обработка на сигнала. Първият производно на сигнала е степента на промяна на y с x, т.е., dy/dx , които се тълкува като наклона на допирателната на сигнала във всяка точка. Ако приемем, че X-интервала между съседни точки е постоянно, простата алгоритъм за изчисляване на първо производно е:

(за 1< j <n-1 ).

където X’j и Y’j са Х и У ценности на J-ата точка на деривата, N = брой точки в сигнала, и X е разликата между Х стойности на съседни точки от данни. Често използван вариант на този алгоритъм изчислява средната наклона между три съседни точки:

(за 2 < j <n-1).

Това се нарича метод на централно-разлика; Предимството му е, че той не е свързан с промяна в позицията на оста х на деривата.

Вторият производно е производно на производното: Това е мярка на кривината на сигнала, което означава, че скоростта на промяна на наклона на сигнала. Тя може да бъде изчислена чрез прилагане на първа производна изчисляването два поредни пъти. Най-простият алгоритъм за директно изчисление на втората производна в един етап е

(за 2 < j <n-1).

По същия начин, високи деривати поръчки могат да бъдат изчислени като се използва подходящия последователност на коефициентите: например 1, -2, 2, -1 за трети производно и 1, -4, 6, -4, един за 4 та производно, въпреки че тези производни могат също да се изчислява, като просто последователни ниски ред производни.

Възможно е също така да се изчисли разликата маршрута производни, в които интервалът на х-ос между точките в горните изрази е по-голям от един; например, Yj-2 и Yj+2 , или Yj-3 и Yj+3 , и т.н. Оказва се, че това е еквивалентно на прилагане на подвижно средно (правоъгълна) гладко в допълнение към производно.

В Savitzky-Golay изглаждане може да се използва като алгоритъм диференциация с подходящ избор на входните аргументи; той съчетава диференциация и изглаждане на един алгоритъм.

Основни свойства на производното Сигнали

Click to view enlarged figureФигурата в ляво показва резултатите от поредното диференциацията на компютърно генериран Gaussian пик на сигнала (кликнете за да видите пълния размер фигурата). Сигналът във всяка от четири прозореца е първото производно на този преди това; т.е. прозорец 2 е първото производно на Прозорец 1, стъкло 3 е първото производно на прозореца 2, 3 прозорец е вторатапроизводна на Прозорец 1, и така нататък. Можете да се предскаже с формата на всеки сигнал, като припомня, че производната е просто наклона на оригиналния сигнал: когато сигнал наклони, нейната производна е положителна; където сигнал се спуска надолу, нейната производна е отрицателна; и когато е сигнал е с нулева наклон, нейната производна е нула. ( Matlab / Octave код за тази цифра.)

Сигмоидалпите сигнал, показан на Window 1 има инфлексна точка (точката, където, където наклонът е максимум) в центъра на обхвата на оста х. Това съответства на максимум в първия си производно (Window 2) и до нулево пропускане (мястото, където сигналът преминава оста х става или от положителна на отрицателна или обратно) във втората производна в Window 3. Това поведение може да да бъде полезно за точно локализиране на инфлексната точка в сигмоидна сигнал, чрез изчисляване на местоположението на нулево пропускане на второ негово производно. Аналогично, местоположението на максимално в пик тип сигнал може да се изчисли точно чрез изчисляване на местоположението на нулево пропускане на първо производно. Други пиковете имат различни производни форми: от / Octave функция Matlab DerivativeShapeDemo.m демонстрира първите производни форми на 16 различни модела формата на пиковете ( графични ).

Click to view enlarged figureДруго важно свойство на диференциацията на връх тип сигнали е ефектът от ширината на върха на амплитудата на деривати.Фигурата в ляво показва резултатите от поредното диференцирането на две компютърно генерирани Gaussian ленти (кликнете за да видите пълния размер фигурата). Двете ленти имат същата амплитуда (височина на пика), но един от тях е точно два пъти ширината на друга. Както можете да видите, по-широк връх има малка производно амплитуда, а ефектът е по-забележима при по-високи деривативни поръчки. Като цяло, се установи, че, че амплитудата на N-то производно на връх е обратно пропорционална на N-ти мощност от нейната ширина, за сигнали имат същата форма и амплитуда. Така диференциация в сила дискриминира по-широки върхове и по-високата от порядъка на диференциация по-голям е дискриминация. Това поведение може да бъде полезен при количествени аналитични приложения за откриване на върхове, които се наслагват един върху и закриват от по-силни, но по-широки фоновите пикове. ( Matlab / Octave код за тази цифра). Амплитудата на производно на пик също зависи отформата на пика и е пряко пропорционална на пиковата височина.

Заявленията на диференциация

Един прост пример за прилагането на диференциация на експериментални сигнали е показано на фигура 5. Този сигнал е типично за вида на сигнала, записана в амперометрични титруванията и някои видове на термичния анализ и кинетични експерименти: фамилия от прави отсечки с различен наклон. Целта е да се определи колко сегменти са там, където в паузите между тогава падат, и склоновете на всеки сегмент. Това е трудно да се направи от данните в суров вид, защото разликите в наклона са малки, както и резолюцията на дисплея на екрана на компютъра се ограничава. Задачата е много по-просто, ако първото производно (наклон) на сигнала се изчислява (Фигура 5, дясно). Всеки сегмент сега ясно се разглежда като отделен етап, чиято височина (Y-ос стойност) е наклонът. Оста у сега придобива дяловете на dy/dx . Забележете, че в този пример стъпки в производно сигнал не са напълно плоски, което показва, че линейните сегменти в оригиналния сигнал не са идеално прави. Това е най-вероятно се дължи на случаен шум в оригиналния сигнал. Въпреки че този шум не е особено очевидна в оригиналния сигнал, е по-забележимо в производно.

Фигура 5. Сигналът в ляво изглежда да е повече или по-малко права линия, но неговото числено изчислява производно ( dy/dx ), нанесени на правото, показва, че линията действително има няколко приблизително праволинейни сегменти с отчетливо различни наклони и с добре определени паузи между всеки сегмент.

Той обикновено се наблюдава, че диференциацията разгражда съотношение сигнал-шум, освен ако алгоритъм на диференциация включва изглаждане, че е внимателно оптимизирани за всяко приложение. Числени алгоритми за диференциация са многобройни и за изглаждане и трябва да бъдат внимателно подбрани, за да контролира влошаване на сигнала към шума.

А класическата употреба на втората диференциация в химичен анализ е на мястото на крайни точки в потенциометрично титруване. В повечето титрувания, кривата на титруване има сигмоидална форма и крайната точка е обозначена с инфлексната точка, на мястото, където наклонът е максимална и кривината е нула.Следователно първото производно на кривата на титруване ще проявяват максимално в инфлексната точка, и втората производна ще проявяват нулево пропускане в тази точка. Maxima и пресичанията на нулата обикновено са много по-лесно да се намери точно от инфлексните точки.


Фигура 6 сигнал в ляво е кривата на титруване рН на много слаба киселина със силна основа, като обемът на Х-ос и рН на Y-оста. Крайната точка е точката на най-голям наклон; това също е инфлексна точка, където извивката на сигнала е нула. Със слаба киселина, като това, че е трудно да се намери този момент точно от оригиналната крива на титруване. Крайната точка е много по-лесно се намира във втората производно, което виждате вдясно, като преминаването нула.

Фигура 6 показва крива на титриране на рН на много слаба киселина със силна основа, като обемът на Х-ос и рН на Y-оста. Мерителна еквивалентност точка („теоретичната“ крайна точка) е 20 мл. Крайната точка е точката на най-голям наклон; това също е инфлексна точка, където извивката на сигнала е нула. Със слаба киселина, като това, че е трудно да се намери този момент точно от оригиналната крива на титруване. Вторият производно на кривата е показано в прозореца 2 отдясно. Пресичане на нулата на втората производна съответства на крайна точка и е много по-точно измерими. Имайте предвид, че през втората производна парцела, както оста х и скалите за ордината са били разширени, за да покаже, точката на пресичане на нулата по-ясно. Прекъснатите линии показват, че преминаването нула пада на около 19.4 мл, близо до теоретичната стойност от 20 мл.

Друга обща употреба на диференциация е в откриването на върхове в сигнала. Това е видно от основните свойства, описани в предишния раздел, че първото производно на пик има надолу ще нулево пропускане на максималния пик, който може да се използва за локализиране на Х-стойността на пика. Но присъствието на случаен шум в реално експериментална сигнал ще доведе до много фалшиви нулеви пресичания дължи просто на шума. За да се избегне този проблем, една популярна техника изглажда първата производна на сигнала първо, преди да търсите надолу ще нулеви прелези, и след това отнема само тези пресичанията на нулата, чиито наклон надхвърля предварително определен минимум (наречен „прага писта“) най- точка, където оригиналната амплитуда сигнал надвишава определен минимум (наречен „амплитуда прага“). Чрез внимателно адаптиране на гладка ширината, прагът наклон, и амплитуда прага, че е възможно да се открият само желаните върхове и игнорира върхове, които са твърде малки, твърде широко, или прекалено тесен. Нещо повече, тъй като изглаждане може да наруши пикови сигнали , намаляване на височината на върховете, и увеличаване на ширини на пиковете, тази техника определя позицията, височината и ширината на всеки пик от най-малките квадрати изглаждане на кривите на един сегмент от оригиналния променливата сигнал в близост до нула-пропускателен пункт. По този начин, дори ако тежката изглаждане е необходимо да се осигури надеждна дискриминация срещу пикове на силен шум, параметрите на пиковете, извлечени по крива не са изкривени.

Производно спектроскопия

В спектроскопия, диференцирането на спектрите е широко използвана техника, по-специално инфрачервени, UV-видима абсорбция , флуоресценция , и отражение спектрофотометрия , по-долу производно спектроскопия деривати методи са били използвани в аналитична спектроскопия за три основни цели:. ( а) спектрална дискриминация, като качествен снемането на пръстови отпечатъци техника, за да изостри някои малки структурни различия между почти идентичен спектри; (Б) подобряване на спектрална резолюция, като техника за увеличаване на видимата резолюцията на припокриване спектрални ленти за по-лесно определяне на броя на групите и техните дължини на вълните; (В) количествен анализ, като техника за корекцията за неуместен фон усвояване и като начин за улесняване на многокомпонентен анализ. (Тъй диференциация е линейна техника, амплитудата на производно е пропорционална на амплитудата на оригиналния сигнал, който позволява количествени аналитични приложения, използващи всеки от стандартните техники за калибриране ). Повечето търговски спектрофотометри сега имат вградени производно способности. Някои инструменти са предназначени за измерване на спектралните производни оптически, с помощта на двойна дължина на вълната илидължина на вълната модулация дизайни.

Поради факта, че амплитудата на N-то производно на връх с форма на сигнала е обратно пропорционална на N-ти мощност на ширината на пика, диференциацията може да се използва като общ начин да дискриминира широки спектрални характеристики в полза на тесни компоненти. Това е основата за прилагане на диференциация, като метод за корекция на фоновите сигнали в количествено спектрофотометричен анализ. Много често в практическите приложения на спектрофотометрия на анализа на сложни образци, спектралните ленти на аналита (т.е. съединението, което се измерва) са наложени върху широк, постепенно извита фон. Предшестващо състояние на този тип могат да бъдат намалени чрез диференциране.

Кликнете, за да видите уголемен фигура Кликнете, за да видите уголемен фигура

Намаляване на ефекта на фона чрез диференциране. Кликнете, за да уголемите
Това е илюстрирано на фигурата в ляво, което показва симулирана UV спектър (абсорбция спрямо дължината на вълната в пМ), със зелен крива, представяща спектър на чист аналита и червената линия представлява спектъра на смес, съдържаща аналита плюс други съединения, които да доведат до голяма наклонена фон усвояването на.Първите две производни на тези сигнали са показани в центъра; можете да видите, че разликата между чистото аналитния спектър (зелен) и сместа спектъра (червено) се намалява. Този ефект е значително подобрена през второто производно, което виждате вдясно. В този случай спектрите на чист компонент и на сместа са почти идентични. За да може тази техника на работа, е необходимо усвояването на фона бъде по-широк (тоест, да има по-ниска кривина), отколкото на аналит спектрален връх, но това се оказва доста често срещана ситуация. Поради своята голяма дискриминация срещу широк контекст, втората (и понякога дори по-висок порядък) производни са често използвани за такива цели. Вижте DerivativeDemo.m за Matlab / Octave демонстрация на това приложение.

Понякога (погрешно), заяви, че диференциация „увеличава чувствителността“ на анализ. Можете да видите как тя ще се изкушат да се каже нещо подобно от проверяващите трите данните по-горе; тя не изглежда, че амплитудата на сигнала на производни е по-голям (по-малко графично) от тази на оригиналния сигнал аналит.Въпреки това, не е валиден за сравнение амплитудите на сигналите и техните производни, защото те имат различни единици. Дяловете на оригиналния спектъра са абсорбция; дяловете на първата производна са в абсорбция на нанометра, а дяловете на втората производна са в абсорбция на нм 2. Вие не можете да сравнявате абсорбцията на абсорбция на нм повече, отколкото можете да сравните мили мили в час. (Това е безсмислено, например, да се каже, че 30 мили в час е по-голямо от 20 мили.) Можете обаче, да сравните съотношението сигнал-фон и съотношението сигнал-шум. Например, в горния пример, ще бъде валиден да се каже, че съотношението сигнал-фон се увеличава в производни.

Слабо казано, обратното на диференциация е интеграция , така че ако ви се дава първата производна на сигнал, може да се очаква да се възстанови първоначалното (нулев производно) от интеграцията. Въпреки това, има и уловка; постоянното план в оригиналния сигнал (като фиксирана изходно ниво) са напълно загубени в диференциация; интеграция не може да я възстановите. Така че, строго погледнато, диференциация представлява нетна загуба на информация, и поради това разграничаване се налага само в случаите, когато постоянно план в оригиналния сигнал не е от значение.

Той е също така често се казва, че „диференциация увеличава шума“. Това е вярно, но това не е основният проблем. В действителност, изчисляване на променливата първата производна на набор от случайни числа увеличава неговото стандартно отклонение само на корен квадратен от 2, просто поради обичайната размножаване на грешки . Но дори и най-малката степен на изглаждане се прилага за производната ще намали тази стандартно отклонение до голяма степен. По-важното е, че съотношението сигнал-шум на променливата производно е почти винаги много по-ниска (по-бедни) от тази на оригиналния сигнал, но изглаждане винаги се използва в някакво практическо приложение при контрол на този проблем (Виж „Значението на Smoothing производни) по-долу.

Трейс Анализ

Един от най-широките приложения на техниката за производно обработка на сигнала в практическото аналитична работа е в измерването на малки количества вещества в присъствието на големи количества потенциално интерферентни материали. В такива приложенията често, че аналитичните сигналите са слаби, шумни и се наслагват един върху големи фонови сигнали. Точност на измерване често се разгражда от проба до проба изходните смени поради неспецифичната широколентов намесва абсорбция, невъзпроизводими кювета (клетъчна проба) позициониране, мръсотия или отпечатъци от пръсти по стените на кюветата, несъвършена предаване кювета съвпадение, и разтвор мътност. Базови измества от тези източници обикновено са или дължина на вълната-независим (светлина запушване причинено от мехурчета или големи суспендирани частици) или проявяват слаба зависимост на дължината на вълната (мътност малки частици). Поради това може да се очаква, че диференциацията в повечето случаи ще помогне да дискриминира съответния абсорбция от тези източници на изходно ниво на смени. Една очевидна полза на премахването на широк фон от диференциация е, че вариациите във фонов режим амплитудата от проба на проба също са намалени. Това може да доведе до по-добра прецизност или измерване в много случаи, особено когато аналит сигнал е малък в сравнение с фона и ако има много неконтролирано вариабилност във фонов режим.Пример за подобряване на способността за откриване на следи компонент в присъствието на силна фон намеса е показано на фигура 7.

Фигура 7. спектър в ляво показва слаба рамото близо до центъра поради малка концентрация на веществото, което трябва да бъде измерена (например активната съставка във фармацевтичен препарат). Трудно е да се измери интензитетът на този връх, тъй като е закрита от силна фона, причинени от други вещества в пробата.Четвъртият производно на този спектър е показано вдясно. Фонът е почти напълно потиснати и пика на анализираното вещество в момента се откроява ясно, улесняване измерването.

Спектърът на ляво показва слаба рамото близо до центъра дължи на аналита. Съотношението сигнал към шум е много добър в този спектър, но въпреки че широко, наклонени фона замъглява връх и прави количествено измерване много трудно. Четвъртият производно на този спектър е показано вдясно. Фонът е почти напълно потиснати и пика на анализираното вещество в момента се откроява ясно, улесняване измерването. Още по-драматичен случай е показан на фигура 8. Това е по същество същия спектър като на Фигура 7, с изключение на това, че концентрацията на анализираното вещество е по-ниска. Въпросът е: има ли забележимо количество аналит в този спектър? Това е напълно невъзможно да се каже от нормалното спектър, но проверка на четвъртото производно (вдясно) показва, че отговорът е да. Някои шум ясно се вижда тук, но въпреки това съотношението сигнал-шум е достатъчно добра за разумен количествено измерване.


Фигура 8. подобно на фигура 7, но в случая на върха е толкова слаб, че дори не може да се види в спектъра от ляво. Четвъртият производно (вдясно) показва, че връх е все още там, но много по-намалена амплитуда (обърнете внимание на по-малък мащаб ордината).

Тази употреба на сигнал диференциация е станал широко използвани в количествен спектроскопия , по-специално за контрол на качеството на фармацевтичната промишленост . В това приложение на компонент обикновено е активната съставка във фармацевтичен препарат и фонови намеси могат да възникнат от присъствието на пълнители, емулгатори, ароматизиращи или оцветяващи средства, буфери, стабилизатори или други ексципиенти. Разбира се, в приложения следи за анализ, трябва да се внимава, за да се оптимизира съотношението сигнал-шум на инструмента, колкото е възможно.

Значението на Заглаждане Производни

За успешното прилагане на диференциация в количествени аналитични приложения, от съществено значение е да се използва диференциация в комбинация с достатъчно изглаждане, за да се оптимизира съотношението сигнал-шум. First derivativeТова е показано на фигурата в ляво. (Matlab / Octave код за тази цифра.) Window 1 показва Gaussian лента с една малка част от добавената бял шум. Windows 2, 3 и 4, показва първото производно на този сигнал с увеличаване на гладки ширини.Както можете да видите, без достатъчно изглаждане, съотношението сигнал-шум на производното може да бъде значително по-бедни от оригиналния сигнал. Въпреки това, с подходящи количества изглаждане, съотношението сигнал-шум на загладени производно може да бъде по-добра от тази на променливата оригинала. Този ефект е още по-впечатляващо в втората производна, както е показано на правото ( Matlab / Octave код за тази цифра). В този случай, съотношението сигнал-шум на променливата втората производна (Window 2) е толкова беден, че дори не може да види сигнала визуално. Какво е особено интересно за шума в тези деривативни сигнали, обаче, е тяхната “ Цвят „. Този шум не е бяла, по-скоро, че е синьо – това означава, че има много по-голяма мощност при високи честоти, отколкото бял шум. Последицата от това е, че е особено подлага на редукция с изглаждане .Second derivative

Няма никакво значение дали гладкото функциониране се прилага преди или след диференциацията. Това, което е важно обаче е естеството на гладка, гладка му съотношение (съотношението на гладка ширината на ширината на оригиналния пик), и броя на сигнала се заглажда. Оптималните стойности на гладка съотношение на деривативните сигнали е приблизително 0,5 до 1,0. За първи производно, на две приложения на един прост правоъгълна гладка или едно заявление на триъгълна гладка е адекватна. За втора производна, три приложения на проста правоъгълна гладка или две приложения на триъгълна гладка е адекватна. Общото правило е: за N-типроизводно, използвайте най-малко N + 1 приложения на правоъгълна гладка. (Matlab програма за обработване на сигнала iSignal автоматично осигурява желания вид гладка за всяко производно ред). Изглаждане деривати води до значително намаляване на амплитудата производно; на фигурата по дясното горе, амплитудата на най-тежко загладени дериват (в Window 4) е много по-малко от своята по-загладени версия (Window 3). Все пак, това няма да бъде проблем, толкова дълго, колкото стандартната (аналитична) кривата се получава като се използва точно същия дериват, изглаждане, и методика за измерване, както се прилага към неизвестните проби. Защото диференциация и изглаждане са двата линейни техники , амплитудата на загладени производно е точно пропорционален на амплитудата на оригиналния сигнал, който позволява количествени аналитични приложения, използващи някое от стандартните техники за калибриране . Стига да прилагат същите техники за обработка на сигнала на стандартите, както и към пробите, всичко работи.

<Поради различните видове и степени на изглаждане, които биха могли да бъдат включени в изчислението на цифрова диференциация на експериментални сигнали, че е трудно да се сравнят резултатите от различни инструменти и експерименти, освен ако не са известни подробности за тези изчисления. В търговски инструменти и софтуерни пакети, тези данни могат също да бъдат скрити. Все пак, ако може да се получи както първоначалната (нулев производно) сигнал, както и на производно и / или загладени версия от същия инструмент или софтуерен пакет, тогава техниката на Фурие развиване, което ще бъде обсъдено по-късно , може да се използва открият и дублира с тях скрити изчисления.

Интересното е, че се пренебрегват за изглаждане производно беше крайна сметка е отговорен за провала на първия космически кораб от програмата на НАСА Маринър на 22 юли 1962 г., което се съобщава в „InfoWorld е 11 скандален софтуерни бъгове „. В своята книга 1968 „Обещание за Space“, Артър Кларк описва мисията като „разбиха с най-скъпата тирето в историята.“ „Тирето“ е всъщност горен бар над символ радиус, написана на ръка в тетрадка. Овърбар означава изглаждане или усредняване функция, така че формулата е трябвало да изчисли загладени стойност на времето производна на радиус. Без функцията за изглаждане, дори незначителни промени от скорост ще задействат коригиращите бустери да риташ, причинявайки полет на ракетата да стане нестабилен.

Видео Демонстрации

Първият 13-секунди, 1,5 MByte видео ( SmoothDerivative2.wmv ) показва огромните подобрения сигнал-шум, които са възможни, когато изглаждане деривативни сигнали, в този случай на четвърто производно.

Второто видео, 17-секунден, 1,1 MByte, ( DerivativeBackground2.wmv ) показва измерването на слаб пик погребан в силна наклонена фон. В началото на този кратък видео, амплитудата (Amp) на пика варира между 0 и 0.14, а фонът е толкова силна, че пикът, с х = 500, е едва видими. След 4-ти производно (Поръчка = 4) се изчислява и разширяване на мащаба (Scale) се увеличава, с гладка ширина (Smooth) на 88. И накрая, амплитудата (Amp) на върха се променя отново в същия интервал, но Сега промените в сигнала сега са доста забележими и лесно да се измерят. (Тези демонстрации са били създадени в Matlab 6.5. Ако имате достъп до този софтуер, можете да изтеглите набор от Matlab Интерактивни Деривативни м-файлове (15 килобайта), InteractiveDerivative.zip , така че можете да експериментирате с променливите на воля и да изпробват тази техника върху собствените си сигнали).


СПЕКТЪР, на безплатна програма за обработка на сигнала, който придружава този урок, включва първа и втора производни функции, които могат да се прилагат последователно, за да се изчисли производни на всеки ред.


Диференциацията в Spreadsheets

Диференциация операции като описаните по-горе могат лесно да бъдат извършени в таблици като Excel или OpenOffice Calc. Както производно и необходимите изглаждане операции могат да се извършват по метода на смяна-и-размножават описано в раздела за изглаждане . По принцип е възможно да се съчетае с някаква степен на диференциация и изглаждане на един набор от коефициенти Shift-а-размножават ( както е показано тук ), но това е по-гъвкав и по-лесно да се коригира, ако се изчисли на деривативите и на всеки етап от изглаждане отделно в последователни колони. Това се илюстрира от DerivativeSmoothing.ods (за OpenOffice Calc) и DerivativeSmoothing.xls(за Excel), която изчислява загладени първата производна, тогава се прилага този процес последователно три пъти, за да се изчисли на втория и третия производни.(Имайте предвид, че за да се изчисли по симетричен първата производна, коефициентите в колони J до Q трябва да са негативите на положителните коефициенти в колони S до Z).

Друг пример на деривативен приложение е електронна таблица SecondDerivativeXY2.xlsx , което показва, локализиране и измерване на промените в втората производна (мярка за кривина или ускорение) на времето се променя сигнала. Тази таблица показва явното увеличение на шума, причинен от диференциация и степента, в която шумът може да се намали чрез изглаждане (в този случай по две минавания на 5-точков триъгълна гладка). Плавното втората производна показва голям връх точката, в която се променя ускорение (при х = 30) и плата от двете страни, показващи степента на ускорението преди и след промяната (Y = 2 и 4, съответно).

Диференциацията в Matlab и Октав

Тази страница е налична и на френски език, в http://www.teilestore.de/edu/?p=8215 , с любезното съдействие на Anna Chekovsky.

 

Разграничаване функции като описаните по-горе могат лесно да бъдат създадени в Matlab или Октав . Някои прости деривативни функции за еднакво разположени серия данни време: деривативи , а първата производна се използва методът на 2-точков централно значение, deriv1 , на променливата първото производно използване на съседни разлики, deriv2 , втора производна помощта на 3-точков централно-разликата метод, трета производно deriv3 с помощта на 4-точкова формула, и deriv4 , а четвъртият производно с помощта на 5-точкова формула. Всеки от тях е проста Matlab функция на форма D = деривативи (Y); аргумент на входния сигнал е вектор „Y“ и диференцирани сигнал се връща като вектор „D“. За данни, които не са еднакво разположени на независимата променлива (х) ос, има версии на първата и втората производна функции, derivxy и secderivxy , които се два входни аргументи (х, у), където х иу са вектори, съдържащи независими и зависими променливи. Кликнете върху тези връзки, за да се запознаят с кода, или щракнете с десния бутон, за да изтегляте за използване в рамките на Matlab. Следният код показва как да използвате първата производна се да намерите всички максимуми в плавен X, Y данни, определени чрез разполагане на точките на нула-пропускателен пункт, който е, точките, в които първата производна „г“ (изчислени като derivxy. м) преминава от положителна на отрицателна. В този пример, „знак“ функция е вградена функция, която връща 1, ако елемент е по-голяма от нула, 0, ако тя е равна на нула и -1, ако тя е по-малка от нула.Рутинните отпечатва стойността на х и у при всяка нулево пропускане:
d=derivxy(x,y);
for j=1:length(x)-1
if sign(d(j))>sign(d(j+1))
disp([x(j) y(j)])
end
end
Ако данните са шумни, много фалшиви нула преминавания ще бъдат отчетени; изглаждане на данните ще се намали това. ProcessSignal .m, командния ред функция на Matlab / октава, която извършва изглаждане и диференциация на време-серия набор данни X, Y (колона или ред вектори). Тип „помогне ProcessSignal“. Връща обработения сигнал като вектор, който има същата форма като X, независимо от формата на база.Синтаксисът е преработено = ProcessSignal (X, Y, DerivativeMode, W, тип, приключва, Sharpen, factor1, factor2, SlewRate, MedianWidth)

DerivativeDemo.m (показан по-горе) е автономен Matlab / Octave демо функция, която използва ProcessSignal.m и plotit.m да демонстрира прилагането на диференциация на количествен анализ на връх погребан в нестабилна фон (например, както е в различни форми на спектроскопия). Целта е да се получи мярка за амплитуда, която варира линейно с действителна пикова амплитуда и е минимално извършва от фона и шума. За да го изпълним, просто напишете DerivativeDemo в командния ред. Можете да промените някои от вътрешните променливи (например шум, BackgroundAmplitude) да направи проблема по-трудно или по-лесно. Забележете, че въпреки факта, че величината на производно е числено по-малък от оригиналния сигнал (защото има различни единици), съотношението сигнал-шум на производно е по-добре и е много по-малко осъществява чрез фон нестабилност. (Време за изпълнение: 0.065 секунди в Matlab; 2,2 секунди в октава).

 

iSignal (показан по-горе) е интерактивна функция за Matlab, която извършва диференциация и изглаждане на времеви редове сигнали, до производно на 5-ти, автоматично включително изисквания вид изглаждане. Прости клавиши ви позволяват да настроите параметрите на изравнителния (гладък вид, ширина, и завършва на лечение) при спазване на ефекта върху вашия сигнал динамично. В примера, показан по-горе, серия от три пика AY X = 100, 250 и 400, с височина в съотношение 1: 2: 3, са заровени в силно извита фон; Плавното втория и четвъртия производни са изчислени за подтискане на този фон. Преглед на кода тук или да изтеглите ZIP файл с примерни данни за тестване. (Версия 2 на iSignal, ноември 2011 г., изчислява производни по отношение на вектора на х-ос, с корекция за нееднакви интервали х-ос). За съжаление, iSignal в момента не работи inOctave.


По-старата версия на Interactive производни произведения само в Matlab 6.5. Това е колекция от функции и скриптове за интерактивна диференциация с плъзгачи, които ви позволяват да регулирате производно ред, гладка ширина, и разширяване на мащаба непрекъснато при спазване на ефекта върху вашия сигнал динамично. Изисква Matlab 6.5; няма да работи с по-нова versions. Натисни тук, за да изтеглите ZIP файл „InteractiveDerivative.zip“, която включва и помощни функции, самостоятелни демонстрации. Стартирай InteractiveDerivativeTest да видите как тя работи. Също така включва DerivativeDemo.m, която демонстрира прилагането на диференциация на разкриването на върхове, наложени върху силна, променлива фон. Генерира пик на сигнала, добавя случаен шум и променлив фон, след което отличава и изглажда, и измерва обхвата на сигнала и съотношението сигнал-шум (SNR). Интерактивни плъзгачи ви позволяват да контролирате всички параметри. Това се използва за създаване на видео демонстрацията DerivativeBackground2.wmv.

Забележка: Можете да щракнете с десния бутон върху някоя от М-файлове връзките горните и изберете Save Link As … да ги изтеглите на вашия компютър за използване в Matlab

Последна актуализация януари 2015 г. Тази страница се поддържа от професор Том О`Хавър, почетен професор, Катедра по химия и биохимия, Университета на Мериленд в College Park. Коментари, предложения и въпроси трябва да бъдат насочени към проф О`Хавър в [email protected]