DCR2011-bigДъг Равенел

Катедра по математика
Университет Рочестър

Оригиналът:
Nilpotence and periodicity in stable homotopy theory,
also known as the
orange book.


Nilpotence and periodicity in stable homotopy theory (Annals of Mathematics Studies, No 128) , Princeton, NJ, 1992, xiv + 209 pp., $24.95. ISBN 0-691-02572-X. Тя е в печат, и можете да я поръчате чрез книги на Amazon в Мека или твърди корици.

Към март 2015 г., също така е достъпна за сваляне тук.
Ето описание на Amazon от него:

Нилпотентност и периодичност в стабилна теория нахомотопия описва някои големи постижения, направени в алгебрични топология през последните години, в чиято основа са нилпотентност и периодичност теореми на, които са догадки от автора през 1977 г. и доказани от Девинац, Хопкинс и Смит през 1985 г. по време на последния десет години редица значими постижения са направени в хомотопия теория, и тази книга запълва една истинска нужда от един текст до актуална по тази тема. Първите няколко глави Равенел може да са написани с обща математическа аудитория в ума. Те проучват двата идеите, които водят до теореми и техните приложения да хомотопия теория. Книгата започва с някои елементарни понятия от теория хомотопия, които са необходими, за да се посочи проблема. Това включва понятия като хомотопия, хомотопия равностойност, CW-сложна и окачване. Следваща машината на комплекс кобордизъм, Морава K-теория, и закони формални групи в характерен р са въведени.Последната част на книгата осигурява специалисти с последователен и строг предвид доказателствата. Тя включва непубликувани досега материали на Smash продукта и хроматични теореми конвергенция и на модулни представителства на симетрична група.
Той беше прегледан от Петер Ландуебер в AMS Бюлетин през 1994 г. (на разположение в DVI, PDF, и PS формат), както и от Н. Дж. Кун в Ревюта AMS математика през 1994 г. (също на разположение в DVI, PDF, и PS формат).

Имам списък на печатни грешки, които може да изтеглите като PDF файл; виж също Бележка за дебела подкатегория теорема (с A. Джианере и П. С. Лундуебер). Ако откриете допълнителни печатни грешки, моля да ги изпратите на мен [email protected].


Преглед на Кун:

Теория на стабилна хомотопия най традиционно се отнася с изучаването на групи $\{Y,Z\}$, групата на хомотопия класове стабилни карти между пространства $Y$ и $Z$, особено когато$Y$ и $Z$ са крайни мобилни комплекси. Отдаване под наем $\{Y,Z\}\sb n$ означават $\{\Sigma\sp n Y,Z\}$, за фиксирана $X$, $\{X,X\}\sb *$ става степенувани пръстен под състав, и човек може да поиска както качествени, така и количествени въпроси за този пръстен. Най-известният и най-проучен пример е, когато $X$ is $S\sp 0$, и съответния пръстен е обозначен $\pi\sp S\sb *$. A качествен резултат за този пръстен е теорема G. Нишида е от началото на 1970 г., че положителните градусови елементи са нилпотент, теорема, чието доказателство в крайна сметка се позовава на някои елегантни наблюдения за разширени правомощия на пространства и спектри. Два основни изследвания, водещи до изрично количествена информация за $\pi\sp S\sb *$ бяха направени от Дж. Ф. Адамс през 1960: неговата организация на стабилно хомотопия чрез спектрална последователност Адамс основава на обикновената Кохомология, и неговата употреба на $K$-теория и $K$-теория операции за изчисляване на ${\rm Im}\,J\subseteq\pi\sp S\sb *$.

Адамс две проучвания могат да бъдат свързани помежду си чрез замяна на класическата спектрална последователност Адамс от спектралната последователност Адамс-Новиков основава на комплекс бордизъм $M{\rm U}\sb *$: the ${\rm Im}\,J$ елементи са по същество елементи открити чрез филтруване 1. Освен това, за разлика от теоремата на Нишида, локализирани при всяка нулевия $p$, определен безкраен семейството на елементите в${\rm Im}\,J$ могат да бъдат конструирани с помощта на итерации а ненилпотентни, положителна степен елемент $\alpha\in\{M(p),M(p)\}\sb *$, където $M(p)$ е мод $p$ повече пространство.

В известен смисъл, историята, разказана в книгата, предмет на преразглеждането започва с това как един показва, че всички итерации на $\alpha\colon\Sigma\sp nM(p)\to M(p)$ са от съществено значение. Един от начините е да се отбележи, че за $M{\rm U}\sb *(M(p))$, $\alpha$ индуцира умножаване с $v\sb 1\in M{\rm U}\sb *$, лесно се вижда, за да бъде ненилпотентно. Еквивалентно, а може би и по-точно, може да се забележи, че $\alpha$ индуцира изоморфизъм на ненулева степен $K\sp *$-module $K\sp *(M(p))$.

През 1969 Куиллен показа, че изучаването на $M{\rm U}\sb *$ е интимно свързано с теорията на формалните закони група, предмет може би учи най-дълбоко от алгебрични брой теоретици. Това беше прозрението на Дж. Морава в началото на 1970 г., които човек трябва да се възползвам от тази теория сериозно да организира информация за $M{\rm U}\sb *$ операции. По-специално, той конструира, за всеки премиер $p$, поредица от периодични обобщени хомоложни теории (с продукти) $K(0)\sp *,K(1)\sp *,K(2)\sp *,\cdots$ with $K(0)$ рационалното Ейленберг-Мак Лайн спектър $H\bold Q$, $K(1)$ един на $p$ $K$-теория, и имащи коефициенти, за $n\geq 1$, $K(n)\sb *=\bold F\sb p[v\sb n,v\sb n\sp {-1}]$, където $v\sb n$ има степен $2p\sp n-2$.

Произведението от автора и неговите сътрудници Х. Милър и В. С. Уилсън в средата на 1970 г. показа, че идеите Морава е, формулирани от гледна точка на „хроматичната филтрация“, могат да бъдат използвани за насочване на изрични изчисления на стабилни хомотопия групи: това е предмет на Предишната книга на автора [Комплекс кобордизъм и стабилна хомотопия групи от сфери, Academic Press, Орландо, Флорида, 1986; MR 87j: 55003]. Въпреки това, от края на 1970 г. авторът, вдъхновен от същите тези идеи, беше започнал да формулират различни глобални предположения за природата на периодичността и нилпотентно в стабилна хомотопия категория. Изяснени с помощта на езика на Баусфийлд локализация, те бяха публикувани през 1984 г. от автора [Амер. Дж. Мат. 106 (1984), не. 2, 351–414; MR 85к: 55009].

Като автор се отнася в предговора: „Имах някои смътни идеи за това как да се подходи догадките, но през 1982 г., когато Уалдхаусен ме попита дали съм очаквал да види тях се заселват преди края на века, бих могъл да му предложи не уверения.“Забележително е, че всички, но един от тях беше доказано от 1986 г. (с останалата „телескоп“ предположение е показано, че е невярна няколко години по-късно, в предполагаем типичен случай), в математическа проява на сила от Е. С. Девинтац, М. Дж. Хопкинс и Дж. Х. Смит [Ann. на Math. (2) 128 (1988), не. 2, 207–241; MR 89 метра: 55009] (и 1992 предпечат от Хопкинс и Смит).

Равенел гласи гола си книга: „да направим този материал, достъпен за обща математическа публика, и да се осигури алгебрични топологистични с последователна и разумно автономен внимание на този материал“. За тази цел, той започва на страница 1, с определянето на това какво означава за две карти да бъдат хомотопични, и от страница 6 е заявил, една форма на нилпотентна теорема: ако $X$ е ограничен клетъчен комплекс, тогава $f\in\{X,X\}\sb *$ е нилпотентно ако и само ако $MU\sb *(f)$ е нилпотентно. Две страници по-късно, глава 1 завършва с изявление на периодичност теорема: ако $X$ е $p$-местни краен клетъчен комплекс, както и $n$ се избира най-малката, така че намалява хомология $K(n)\sp *(X)$ не е нула, тогава съществува $f\in\{X,X\}\sb *$, така че $K(n)\sp * (f)$ е изоморфизъм (и $f$ е уникален След подходящо итерация).

Глава 2 включва предварително известни примери за nonnilpotent самостоятелно карти, изложение на теоремата Нишида, а въвежда първата версия на хроматичната филтриране на хомотопия.

Глави 3 и 4 съдържат допълнителни материали на закони формални групи и сложна бордизъм (с повече информация в допълнение Б), както и декларация за Хопкинс и Смит дебела подкатегория теорема: всяка подходяща дебелина подкатегория на категорията на $p$-местни краен клетъчни комплекси е само пълната подкатегорията на $K(n)\sb *$-ациклични комплекси, за някои $n$. Тук подкатегория е „дебела“ (превод на термина „epaisse“ Габриел), ако тя е затворена по каофибрация и се свива.

Глава 5 съдържа приспадането на дебелата подкатегория теорема от нилпотентна теорема, след аргументите на Хопкинс и Смит, докато в глава 6, подкрепен от допълнения А и C, води читателя чрез приспадане на периодичността теорема. Изграждане на Смит в Приложение C не е била налична преди това в публикуван форма.

Баусфийлд локализиране прави неговата поява в Глава 7, където са посочени две непубликувани преди теореми, дължащи се на Хопкинс и автора. Нека $L\sb n$ означават Баусфийлд локализация по отношение на сумата на теориите $K(0),\cdots,K(n)$. Човек трябва теорема Смаш продукт – за всички $X$, $L\sb nX\cong X\wedge L\sb nS\sp 0$ – и хроматичната сближаване теорема – за всички $p$-местно крайни мобилни комплекси $X$, $X\cong{\rm holim}\,L\sb nX$. Скетч доказателства за тях съставляват глава 8.

Накрая, Девинтац-Хопкинс-Смит доказателството на теоремата nilpotence е дадена в глава 9.

Тя е невероятна, но в някои отношения много достъпни, приказка, че авторът разказва за по-малко от 200 страници. Тези в „общата математическа аудитория“ Равенел трябва да се предупреди обаче, че един внимателен читател ще намери себе противопоставянето на голямо разнообразие от инструменти, използвани в доказателствата, като се започне от модулни представителство теория на симетрични групи, за да Хопфа алгеброиды, да Хопф инварианти и стабилна разделяне Снайт е на Ω2S2n+1(в прераждането на удължено аргумент мощност Нишида съобщения).