pjeФилипп Дж. Ерделски

Доктор на науките

Оригиналът:
Elementary Set Theory

Моля, пишете коментари,
корекции и допълнения към уебмастъра на [email protected].

1. Въведение

Повечето, ако не всички, от чистата математика е написано на езика на комплекта. Може да забележите, че този раздел съдържа много определения и само няколко теореми. Въпреки това, дори и определение може да съдържат много математически мъдрост. Отне математици векове да формулира някои основни дефиниции.

Набор е колекция от предмети, считани като цяло. Ако има само няколко позиции, комплектът може да се определи чрез изброяването им в скоби. Например, от серията А може да се определя, както следва:

A = {1,2,3}

Елементите в съвкупност, се наричат елементи или членове на снимачната площадка. Те също така се казва, че принадлежи на конфигурацията или да бъде в комплекта, както и множеството им се каже да съдържа. Символът се използва за изразяване на тази връзка – a∈ A означава принадлежи към и a∉ A означава не принадлежи на A.

Два комплекта са равни, ако те съдържат точно едни и същи елементи. Това означава, че определен A е равно на определен B, ако всеки елемент на A е елемент и от B, и всеки елемент от Bсъщо е елемент на A. Редът, в който елементите на съвкупност, са изброени в своето определение, е без значение. Например, декорите {1,2,3} и {3,2,1} са равни.

Един елемент, който не може да принадлежи на набор повече от веднъж. Поради това, когато един комплект е определена от списъка си елементи, всеки елемент е само веднъж в списъка.

Набор, която не съдържа елементи, се нарича празна сет, и се представя със символа ∅.

Ако всеки елемент от серия А, също е елемент от серията Б, то А казват, че е подмножество на B, представена символично от A⊆ B, или B се казва, за да се включи. Всеки комплект е подмножество на себе си, и на празен сет е подмножество на всеки набор.

Ако A⊆ В и има най-малко един елемент от В, който не е елемент от А, тогава се казва, че правилно подмножество на В, представена символично от A⊂ B.

При част често се определя от някои собственост на нейните елементи. Например, нека A = {1,2,3,4,5,6} и нека B = {2,4,6}. След Б, може да бъде определена като множеството от всички елементи на които са дори, или в символи:

B = {x∈ A | X е дори}.

Тук символът | средства „така че“. Думата „всички“ да се разбира. В някои случаи от серията А също може да бъде разбрано.

Пресечната точка на произволен брой на масивите е набор от елементи, че всички те са по-чести. Например, сечението на {1,2,3,4,5}, {2,3,4,5,6,7,8,9} и {3,5,7,9} е {3,5 }. Ясно е, че на кръстовището на колекция от комплекта е подмножество на всеки набор от колекцията. Пресечната точка на две групи A и B е представена символично от A∩B.

Операцията за пресичане има няколко очевидни свойства:

  • Коммулативно: A∩B = B∩A.
  • Асоциативност: (A∩B) ∩C = A∩ (B∩C).
  • A∩B = A, ако и само ако, A⊆ B.

Съюзът на произволен брой на масивите е множеството от всички техни елементи. Например Съюзът на {1,2,3,4,5}, {2,3,4,5,6,7,8,9} и {3,5,7,9} е {1,2, 3,4,5,6,7,8,9}. Ясно е, че всеки набор в един съюз е подмножество на техния съюз. Съюзът на две групи A и B е представена символично от A∪B.

Операцията на Съюза има няколко очевидни свойства:

  • Коммулативно: A∪B = B∪A.
  • Асоциативност: (A∪B) ∪C = A∪ (B∪C).
  • A∪B = B, ако и само ако, A⊆ B.

Два комплекта се казва, че се обърквам, ако те нямат общи елементи; т.е., A и B са разместени, ако A∩B = ∅. Три или повече групи се казва, че са разместени, ако всеки две от тях са разместени.

Означението КБ се използва за обозначаване на набор от всички елементи на A, които не са елементи на B. Тази операция не стандартно име, но когато B е подмножество на A, AB понякога се казва, че е комплемента на B в A.

Отношенията между набори често са представени картинно чрез диаграма на Вен, в която са се представени като интериора на припокриващи се кръгове (или други фигури повърхност).Комплект комбинации са представени от зоните, ограничени от кръгове, както е показано в следващия пример за две групи:

Диаграма на Вен

2. Наредени двойки

Подредена двойка е съвкупност от два елемента в определен ред. Подредена двойка обикновено е написано (а, б) когато е първият елемент и б е вторият елемент. Две наредени двойки (a, b) и(c, d) са равни, ако a = c и b = d. Обръщане на елементите на една наредена двойка произвежда различен наредена двойка, ако елементите не са същите. Например, наредена двойка (1,2) не е равно на наредената двойка (2,1).

За две групи A и B, напречното продукт A⨯ B е множеството на всички наредени двойки, чиито първи и втори елементи са елементи на A и B, съответно. Това означава,

A⨯ B = {(a, b) | a∈ A и B ∈ b}

Поръчаните тройни, четворни и т.н. могат да бъдат определени, но те рядко са необходими.

3. Връзки

A връзка R на набор A е просто набор от наредени двойки на елементи от A, т.е., R ⊆ A⨯ A. Два елемента А и Б се казва, да се подчиняват на връзката, ако (a, b) е в R. Въпреки това, за повечето отношения, набор нотация не се използва. Вместо това, символ като ~ поставя между елементите да се посочи, че те се подчиняват на връзката; например ~ b означава, че (a, b) е в R.

Други символи често се използват за връзки са

=> <≥ ≤ | ≠ ⊃ ⊂ ⊇ ⊆ ≡

Повечето полезни връзки имат някои допълнителни свойства. A връзка ~ на зададете на еквивалентност, ако след трюма за всеки един, В и С в A:

  • Тя е рефлексивно: a ~ a.
  • Това е симетричен: a ~ b предполага, че b ~ a.
  • Той е преходен: a ~ b и b ~ c означава, че a ~ c.

Набор от непразни подмножества на набор A се нарича дял на А ако всеки елемент на A принадлежи към една и само една от подкласа; т.е., ако подгрупи са несвързани и техния съюз е.Следната теорема установява връзка между еквивалентност връзка и с преграда.

Теорема 3.1. Ако ~ е еквивалентност отношение на зададете, тогава няма да има дял от серия А, така че a~ b, ако и само ако, a и b принадлежат към един и същ набор от дяла. И обратното, ако P е дял на A, след това „a и b принадлежат към един и същ набор от P“ е връзка равностойност.

. Доказателство Помислете за набор Р на подгрупи T A = {X ∈ A | X ~ а}. Ясно е всеки един от А принадлежи към най-малко една подгрупа в P, а именно на Т. Следователно наборите в P са непразни и техният съюз е A.

Сега нека T а и T б бъде две подгрупи в P. Ако те има елемент в общо, тогава C ~ A, C ~ B и х ~ b за всеки X ∈ T б. Чрез Преходност х ~ а и х ∈ T а също. Подобни аргументи показват, че всеки елемент на Т а също е елемент на Т б. Следователно T а и T б са равни. Ако две подгрупи в P имат никакъв елемент в общата, те са разместени. Следователно Р е на желаната част.

Обратното е тривиално. █

Комплектите в този дял, свързан по този начин с връзка еквивалентност се наричат неговите равностойност класове. Те често се използват за определяне математически системи.

Еквивалентност отношения на две групи А и В могат да бъдат използвани за определяне на еквивалентност по отношение A⨯ Б в очевиден начин: (а, б) е еквивалентно на (в, г) ако е еквивалентно на С и б е еквивалентно на г ,

4. Поръчка

Частичен цел на набор А е връзка ≤ със следните свойства за всеки един, В и С в A:

  • Тя е рефлексивно: a ≤ a.
  • Тя е асимитрично: a ≤ b и b ≤, означава, че a = b.
  • Той е преходен: a ≤ b и b ≤ c означава, че a ≤ c.

Частичен цел ≤ върху зададете се нарича линеен ред (или общо ред), ако за всеки два елемента А и Б на А, a ≤ b или b ≤ една (или и двете, ако a = b).

Множеството от всички подгрупи на един комплект е частично подредени по включване:. S ≤ T означава S⊆ T Тази частична цел обикновено не е пълна, за, защото можем да намерим две подгрупи, като {1,2,3} и {2 , 3,4}, така че нито е подгрупа от друга.

Познатата връзка ≤ по аритметика е обща цел.

В работата си с частичен или пълен ред, е нормално да се определят някои свързани отношения:

  • a ≥ b означава b ≤ a,
  • a <b означава ≤ b и ≠ b,
  • a> b означава b ≤ a и b ≠ един.

Там е алтернативен начин да се определи частични и общите поръчки. A връзка <е частичен цел, ако се подчинява на следните две условия:

  • Той е преходен: a <b и b < c означава, че a<c.
  • a <a винаги е фалшива.

Частичен цел е обща цел, ако тя е също трихотомус: за всеки два елемента А и Б, един и само един от следните притежава:

  • a <b,
  • a = b,
  • b <a.

След това други отношения се определят от гледна точка на <:

  • a ≤ b означава <b или a = b.
  • a ≥ b означава b<a или a = b.
  • a> b означава b <a.

Може да се докаже, че двата начина за определяне на частични и общите поръчки са еквивалентни.

Обикновено имената „частичен ред“ и „обща поръчка“ се прилага за целия набор от отношения ≤, <,> и ≥ без да се уточнява, който е отношението на ред и които са свързани с него.

5. Функции

A функция е от серията А към серията B е правило, което, предвид всеки елемент х от A, произвежда точно една съответния елемент от B представлявана от F (х). Това понятие често се изразява символично като е: A⟶B.

Функцията се нарича още картографиране. И двете имена са често използвани в математиката, но от този момент нататък ще използваме функцията име.

А от друга страна, и по-абстрактно, начин да се дефинира функция е: A⟶B е като подмножество на A ⨯ B, така че за всеки елемент х от А има един и само един наредена двойка в подгрупата, чийто първи елемент е х. Вторият елемент на двойката след това се определя, че е (х).

Елемент ко (х) се нарича образ на х под функция. Функцията F също се казва, че на картата или да носи елемент х към елемент е (х).

Ако е: A⟶B тогава A се нарича областта на F, и множеството на всички елементи на B, които са снимки на елементи от A се нарича диапазона от ф. Набори А и В не се нуждаят да бъдат различни; В действителност, те са еднакви в много приложения.

Някои функции имат специални свойства, които ги правят особено интересно или полезно. Ако е: A⟶B, след това

Ако интервалът е равна на, след това е се нарича сюрекция, а Сюрекция, или върху функцията на B. Функцията се понякога също казва, че е „върху“, но използването на предлога като прилагателно звучи толкова надут, че добрите писатели са склонни да го избегне.

Ако интервалът е подходящо подмножество на B, след това се нарича е функция от в Б.

Ако F носи най-много един елемент на потребителите във всеки елемент от неговия обхват, т.е., ако е (х) = F (у) означава, че X = Y, тогава е се нарича инжектиране, Инекция, или един -да-една функция.

Ако е както е сюрекция и едно към едно след това се нарича кореспонденция на А и В едно към едно. Ако е е едно към едно, но не сюрекция, то е кореспонденция на А и неговия обхват, което е правилно подмножество на В едно към едно.

Ако е: A⟶B е кореспонденция едно към едно, ту го има обратна функция, наречена е -1: B⟶A определя от

-1 е (х) = елемента тегл такива, че F (W) = х.

Разбира се, обратното също е вярно. Ако функция е обратна, а след това е кореспонденция едно към едно.

Две функции е: A⟶B и g: A⟶B са равни, ако е (х) = d (х) за всеки х в A.

Ако обхвата от една функция е подгрупа на домен на друг, след това съставна функция се определя чрез прилагане на функциите последователно. Това е, ако е: A⟶B и G: B⟶C след това съставният функция (f◌g): A⟶C се определя от

(Е ◌g) (х) = d (е (х)) за всеки X в.

Ако функциите са подходящи области и диапазони, състав е асоциативна, т.е., (е ◌g) ◌h = F ◌ (ж ◌h).

А един към една функция е: A⟶B на две групи с някаква структура се нарича изоморфизъм, ако той запазва структурата. Видяхме един пример за набор на структурата: частично наредено сет.Ако набори А и В са частично наредено, тогава е: A⟶B е изоморфизъм, ако това е едно към едно, сюрекция, и е (х) <F (Y), ако и само ако, х <у.

Изоморфизъм на структуриран набор сам със себе си, се нарича аутоморфизъм. Ясно е, че функцията за самоличност (е (х) = х за всички х) е аутоморфизъм на всяка структурирана съвкупност.Един добър пример за nontrivial аутоморфизъм е функцията, която извършва комплексно число в своята конюгат (т.е. ,. е (х + Iy) = х-Iy за всички реални х и у). Това е едно-към-едно, сюрекция, и запазва събиране и умножение на комплексни числа.

Да предположим, че е: A⟶B и има за еквивалентност отношения на множества А и В. Нека P A и P B се съответните набори на равностойност класове A и B, съответно. Ако е носи еквивалентни елементи на А в еквивалентни елементи на Б, т.е., ако ~ б предполага, че е (a) ~ F (b), тогава има уникална функция г: P А ⟶P В определени по следния начин. Нека S е един клас равностойност в PA. Изберете всеки елемент от този клас на еквивалентност и определи г (S), за да бъде клас на еквивалентност, съдържаща F (a). Лесно се показва, че това не зависи от елемента, избрани отP A. Нещо повече, г наследява много от свойствата на F; например, ако е е суръекция, така е ж.

5. Операции

Унарен експлоатация на набор е функция, чийто домейн е, че набор. Това, което отличава унарен операция от обикновена функция е означения, а често и отношенията й с други функции или операции. Например, функцията, която изпълнява всяко реално число х до номер -X е унарен операция, наречена отрицание. Обхватът на функцията е често един и същ набор, но това не е задължително.

A двоична операция е функция, чийто домейн е напречно продукт на две групи (или напречно продукт на набор със себе си). Например, събиране и умножение са две бинарни операции на снимачната R⨯ R, където R е множеството на реалните числа. Образът на наредена двойка (X, Y) обикновено се изписва така X + Y за допълнение и XY за умножение. Тук X и Y се наричат операнди. Бившият нотация обикновено се използва само за допълнение или операции много като допълнение. Последният означение се използва за по-общи операции.

Унарен и бинарни операции са много чести в математиката; операции с три или повече операнди са редки, с изключение на разширения на бинарни операции, както е отбелязано по-долу. Binary операции на единен набор са по-чести, отколкото двоични операции на двойки на комплекта, но и двамата се срещат често.

Бинарна операция се казва, че асоциативен ако може да се използва за три операнди без оглед на тяхната група, т.е., ако

(XY) Z = X (YZ)
(Х + у) + Z = X + (Y + Z)

Ако бинарна операция е асоциативна, можем да запишете резултата в продължение на три операнди без скоби, което го прави по-добре определена операция с три операнди:

XYZ = (XY) Z = X (YZ)
X + Y + Z = (х + у) + Z = X + (Y + Z)

Обикновена събиране и умножение са асоциативно; толкова много други двоични операции. Съставът на функции е асоциативен бинарна операция (предвидени функциите имат подходящи области и серии). В действителност, повечето операции са двукомпонентни асоциативен.

Ако бинарна операция е асоциативна, че е лесно да се разшири имота с операции по четири или повече операнди:

WXYZ = (WXY) Z = (w (XY)) Z = w ((XY) Z) = W (XYZ).

A двоична операция е комутативен ако заповедта на операндите не влияе на резултата; т.е., ако

XY = YX
X + Y = Y + X

Ако комутативен операция е също асоциативен, коммулативно може лесно да се разшири до операции по три или повече операнди:

XYZ = (XY) Z = (YX) Z = Y = yxz (XZ) = (YX) Z = yxz и т.н.

Binary операции, които са комутативен но не асоциативно са много редки. Binary операции, които са асоциативни, но не комутативен са доста често срещани. Състав на функции е един пример; демонстрация на този факт ще бъде дадено по-късно.

Сега помислете бинарна операция на A⨯ B с гамата си в C (които не е задължително да бъде различен набор). Да предположим, че има за еквивалентност операции по тези комплекти (което също не е необходимо да бъде различна), и на двоичен операция запазва еквивалентност, т.е., на работа, когато се прилага по отношение на еквивалентни операнди дава еквивалентни резултати, или ~ В и С ~ D означава, че AC ~ BD , Тогава, точно като функция на една променлива е удължен до функция на равностойност класове, операция на две променливи може да бъде удължен по подобен начин. Ако А и В са всички елементи на равностойност класове P и Q на, съответно, след PQ е определена да бъде класът на еквивалентност, съдържащ AB. Новата операция наследява много свойства на стария, включително и асоциативност и коммулативно.